В 2016 году в журнале "Россия 4D" вышла статья "Загадка проекции Мюфлинга". В ней был предложен оригинальный метод перепроецирования крупномасштабных карт первой трети XX века, составленных в неудобной для современного использования многогранной проекции в более подходящую проекцию.
Коротко напомню, о чем шла речь.
Листы карт в проекции Мюфлинга представляют собой симметричные трапеции, ограниченные по рамке параллелями и меридианами, взятыми с равным шагом и изображенными прямыми линиями. Тем самым они представляют криволинейные трапеции на земной поверхности, преобразованные в трапеции на плоскости проецированием. Однако хорошо известно, что такое представление не позволяет отобразить земную поверхность на плоскости без разрывов между листами. В то же время, листы крупномасштабных карт (например, двухверстного масштаба) имеют крайне незначительный наклон боковых сторон трапеции (обусловленный схождением меридианов к северу) и представляют собой "почти прямоугольник". Поэтому и было предложено перепроецировать эти карты одновременно с привязкой в подходящую прямоугольную (цилиндрическую) проекцию, которая уже позволит собрать листы карт в единое покрытие без разрывов. Современные ГИС легко справляются с такой задачей.
В качестве такой проекции было предложено использовать проекцию Меркатора. Однако здесь есть один подводный камень, который я упустил в своих рассуждениях.
В самом деле, отклонение трапеции карты от "честной прямоугольности" составляет всего лишь пару миллиметров, поэтому представляется довольно простой задачей слегка подтянув отсканированный растр, подогнать ее к прямоугольнику. Но тут-то и таится допущенный пробел в рассуждениях: нам надо рассматривать растяжение трапеции в прямоугольник не только по горизонтали (верхней стороны), но и по вертикали (всей трапеции как целого)! И дело здесь не в величине самого растяжения (я подробней эту величину рассмотрю ниже), а в том, что такая операция не учитывает одного важнейшего свойства меркаторской проекции. Рассмотрим подробней, о чем идет речь.
Хорошо известно, что сетка параллелей и меридианов в проекции Меркатора вытягивается в вертикальном направлении при движении от экватора к полюсам. То есть, при равной ширине, любой прямоугольник, ограниченный фиксированным шагом широты и долготы становится более вытянутым по вертикали. Менее очевидным, но вполне объективным, является тот факт, что такое поведение характерно для любого участка заданного прямоугольника: масштабный коэффициент по вертикали нарастает при движении с юга на север (в Северном полушарии). Еще менее очевидно, что точно так же нарастает и масштабный коэффициент по горизонтали. Такие "нарастания" по горизонтали и вертикали в точности равны друг другу по самому построению проекции, что и приводит к тому, что проекция сохраняет величины углов (а значит, и форму объектов). Схематично это изображено на рисунке ниже.
Этот эффект можно представить и немного по-другому: любой участок, в том числе и любой заданный четырехугольник между заданными границами широт и долгот проекция Меркатора растягивает в прямоугольник не равномерно, а тем сильнее, чем ближе к полюсам находятся точки участка.
А вот для проекции Мюфлинга это не так. В цитированной в предыдущей статье брошюре1 рассчитаны локальные изменения масштабов (горизонтального и вертикального) для листов карты масштаба в 1 см 2 км. Подробнее математический аппарат статьи мы рассмотрим немного ниже, здесь лишь отметим, что масштабный коэффициент на всех четырех сторонах трапеции в точности равен единице, а ближе к центру трапеции немного уменьшается2.
Из приведенных выше рассуждений сразу же следует, что говоря в общем, трапецию Мюфлинга невозможно растянуть в прямоугольник Меркатора так, чтобы изменения локальных масштабов совпадали по всей площади карты (если мы растягиваем трапецию равномерно). Иными словами, при таком растяжении мы должны каким-то образом добиться "меркаторской" неравномерности (то есть, растягивать трапецию тем сильнее, чем ближе к полюсу находится растягиваемая часть), а этого невозможно добиться, используя всего лишь четыре точки (по углам трапеции).
Можно посмотреть на проблему и с другой стороны: если бы наша карта изначально была бы изображена в проекции Меркатора, то при равномерном сжатии в трапецию у нас не исчезла бы неравномерность, как минимум, по вертикали (нарастающая с юга на север для Северного полушария). Собственно, именно это и предполагает алгоритм растяжения по четырем точкам: считаем, что карта составлена уже в меркаторской проекции и лишь "подправляем" ее, убирая некоторую "общую деформацию" (здесь и далее, говоря о равномерном растяжении, мы и подразумеваем, что используем лишь 4 точки, то есть тянем трапецию "за углы". В самом конце мы коснемся вопроса использования большего количества точек). А это, как мы видим, не так. Алгоритм заранее не знает, как именно у нас устроены точки растра внутри области привязки и лишь предполагает, что они устроены в точном ожидании с внутренним устройством проекции.
Однако, как же тогда у нас получилось так, что линии сетки меркаторской проекции почти идеально совпали с широтными и долготными метками на минутной рамке карты, изображенной первоначально в проекции Мюфлинга?
Давайте попробуем разобраться.
В упомянутой не раз статье1 приведен подробный математический расчет основных параметров трапеций Мюфлинга для карт масштаба 1:200000 и покрытием 1 градус по долготе и 40 минут по широте, поэтому здесь я подробно цитировать его не буду; заинтересованный читатель найдет исходный текст работы прямо по ссылке. Остановлюсь лишь на ключевых моментах расчета, а также на некоторых особенностях и закономерностях, которые не нашли отражения в статье, но будут полезны для дальнейшего рассмотрения. С этой целью был создан простой калькулятор в Excel, который в целом повторяет рассуждения и вычисления автора3.
Рассмотрим вначале карту двухкилометрового масштаба, расчеты по которой приведены в брошюре. Она ограничена значениями в 40°00'' - 40°40'' по широте и 35°00'' - 36°00'' по долготе. В дополнение к величинам, которые приведены в статье и обозначения которых в калькуляторе в целом совпадают с оригинальными, были добавлены значения промежуточных широт (Ф(1/4) и Ф(3/4)) по высоте листа и промежуточных долгот (L(1/4) и L(3/4)) по его ширине (например, Ф(1/4) = Ф(1) + 1/4*(Ф(2)-Ф(1)) и т.д.). Здесь сразу же отметим тот факт, что доля от общей высоты трапеции Мюфлинга на широте, равной доле от общей разницы широт равна этой второй доле. То есть, при Ф = Ф(1/2) точка на трапеции лежит на высоте равной h/2, при Ф = Ф(1/4) на высоте равной h/4 и т.д. Это прямо следует из вывода формулы (3) статьи1 и пригодится нам в дальнейшем4. А из этого следует, что размер, скажем, минутного деления по вертикальной границе карты строго постоянен.
В дополнение к длинам нижней и верхней сторон трапеции (a(1) и a(2) соответственно), была введена еще величина абсолютного "схождения" s, равная разности этих длин. Сразу же обращает на себя внимание, что величина этой разности для данного конкретного примера получилась равной 837 м на местности (при общей ширине трапеции в 84-85 км). Приводя эту величину к масштабу самой карты, получаем величину около 4 мм, что отлично согласуется с данными, полученными ранее непосредственными измерениями растра на карте примерно вдвое более крупного масштаба.
Стоит также отметить крайне незначительную разницу в длинах боковой (наклонной) стороны трапеции и ее высоты (c и h). Она составляет всего лишь около 1 метра на местности для карты-двухкилометровки, и такая малость является прямым следствием малости угла наклона5 стороны.
Что же касается самого "угла наклона" Ψ(1) (см. Фиг.3 упомянутой статьи), то велик соблазн приравнять его половине разницы долгот боковых сторон трапеции. Однако это не так: это видно при непосредственных вычислениях в калькуляторе. Этот угол наклона возникает только в промежуточных геометрических построениях (и упрощениях) проекции. Тем не менее, сама малость этого угла и "почти равенство" его сторон c и h позволяет считать половину этого угла представляющей "четверти" L(1/4) и L(3/4) от разности между крайними долготами трапеции (L(2) - L(1)). Это, практически никак не сказываясь на точности вычислений, сильно их упрощает, что и использовано для вычисления масштабных коэффициентов в калькуляторе.
Наконец укажу, что расчетные масштабные коэффициенты, сведенные в единую таблицу, аналогичную приведенной в статье (раздельно для m - масштаба по меридиану и n - масштаба по параллели), показывают, что наименьшего своего значения они достигают ровно в середине трапеции (а это значит, что именно в середине наблюдаются наибольшие искажения реального масштаба на местности в сторону уменьшения; в дальнейшем нам этот факт тоже пригодится).
Полностью текст статьи со всеми ссылками вы можете прочитать, посетив страницу автора на Boosty.
